Тайны натурального ряда чисел

Научная деятельность Вацлава Серпинского

​

​

1. 1904 год. Серпинский представил сочинение "О суммировании ряда                      при условии, что тау от n представляет собой число разложений n на сумму квадратов двух целых чисел" (Данную тему сформулировал Вороной Г.Ф. в качестве темы в рамках конкурса студенческих сочинений, в том же году Варшавский университет на основании отзыва Вороного присудил Серпинскому за эту работу золотую медаль и присвоил ученую степень кандидата математических наук.)

​

2.  1907 год. Серпинский заинтересовался теорией множеств. Это случилось, когда ему встретилась теорема, что точки плоскости можно определять одной-единственной координатой. Он написал Банашевичу, который в это время был в Гёттингене, письмо с вопросом, как такое возможно. Ответ состоял из одного слова: "Кантор". Серпинский дал найденное им независимо от Кантора доказательство известной ныне каждому студенту теоремы о том, что положение точки на плоскости может быть определено одним действительным числом, из чего уже легко следует эквивалентность множеств точек прямой и плоскости, и вообще пространств любого числа измерений.

​

3. 1907-1908 годы. В дальнейшем Серпинский получил большое количество важных и глубоких результатов, относящихся как к абстрактной теории множеств, так и к ее топологическим приложениям (в связи с исследованием проблемы размерности), а особенно – к проблематике, пограничной между собственно теорией множеств и математической логикой. Здесь в первую очередь следует отметить изучение (самим Серпинский, а затем и его многочисленными учениками) обширного класса предложений, эквивалентных знаменитой континуум-гипотезе Кантора и так называемой аксиоме выбора теории множеств, и геометрических следствий этой аксиомы, носящих зачастую внешне парадоксальный характер.

​

4. 1908 -1914 годы. В январе 1908 года Серпинский стал членом Варшавского научного общества, а в июле получил докторскую степень и начал читать лекции по теории множеств во Львовском университете. В сентябре 1910 года он был назначен профессором. За время преподавания в университете Львова (1908–1914 годы), он опубликовал три книги и большое количество статей. В 1911 году Краковская Академия награждает Серпинского за работы, опубликованные им на польском языке. Спустя два года эта же академия присуждает ему премию за "Очерк теории множеств".

​

5.  1916 год. В Москве Серпинский дал свой первый пример абсолютно нормального числа, то есть числа, в записи которого все цифры равновероятны, в какой бы системе счисления его ни записывать. Борель доказал, что такие числа существуют, а Серпинский первым придумал пример.

​

6.  1917 год. Серпинский сделал в Московском математическом обществе доклад «Аксиома выбора и ее роль в анализе и теории функций», в котором систематизировал проблемы меры и измеримости по их зависимости от аксиомы Цермело. Впоследствии он уделял много внимания зависимости утверждений от аксиомы выбора и гипотезы континуума, в начале каждой работы оговаривая наличие или отсутствие этой связи. Многие из упомянутых проблем в дальнейшем стали темами новых исследований Серпинского и его учеников. Это и проблема инвариантности свойств измеримости, непрерывности и свойства Бэра, и связь аксиомы выбора с гипотезой континуума, и исследование множества Лузина.

​

7. ​1916–1918 годы. Цитата. Суслин, В. Серпинский и я, стремясь выполнить предложенную Лебегом программу изучения наиболее общих множеств, которые можно назвать, пришли к изучению нового класса точечных множеств, заведомо выходящего за границы класса множеств, измеримых В, и, однако, образованного из множеств, которые можно определить без всяких трансфинитных чисел. Ввиду тесной связи между этими множествами и рядами полиномов они получили название аналитических множеств согласно предложению Лебега. Упрощенное доказательство основной теоремы Суслина об А-множествах в 1918 г. дано Лузиным и Серпинским в их совместной работе «О некоторых свойствах А-множеств». Доказательство основано на разложении множества, дополнительного к А-множеству, на сумму א1 множеств, измеримых В.
Совместная работа Серпинского и Лузина была плодотворна для обоих – ими написано восемь общих статей. Серпинскому же эта работа, кроме всего прочего, помогла найти свой научный стиль.

​

8. ​1918 год. В статье «Аксиоматическое определение В-измеримых множеств» Серпинский предложил новый прием в доказательстве существования, названный Лузиным принципом минимума. Этот прием, сочетавший
классическое основание с аксиомой Цермело и трансфинитными числами, впоследствии использовали ученики Серпинского.

​

9. ​1918 год. Еще одной его плодотворной находкой было установление двойственности между мерой и категорией. Известно много теорем о множестве первой категории, которые остаются верными для множеств меры нуль и обратно. В то же время доказательства для первых значительно сложнее. Серпинский высказал гипотезу (которую впоследствии доказал) о существовании взаимно-однозначного соответствия между ними, что позволяло значительно упрощать построения.

​

10. ​С 1921 по 1939. В довоенное время Серпинский был избран действительным членом Польской Академии наук. Необычайная творческая активность и выдающиеся педагогические, литературные и организаторские  способности ставят его во главе польской математической школы. Имя Серпинского приобретает огромную популярность. В обиход математиков входят такие понятия как "Универсальная кривая Серпинского", "Треугольная кривая Серпинского", "Ковер Серпинского".

​

11. 1939 - 1945 годы. Серпинский продолжил работу в "Подпольном Варшавском университете", тогда как официально он числился офисным служащим. Он продолжал публиковаться, но статьи приходилось посылать в Италию. Каждая статья заканчивалась словами: «Доказательства этих теорем будут опубликованы в «Fundamenta Mathematicae». Каждый понимал скрытый смысл этих слов: "Польша возродится!" Но дождаться этого суждено было не всем.  

​

12. 1949-1951 годы. Серпинский был награжден в Польше Первой Государственной премией за научную деятельность. В 1951 году он был избран вице-президентом Польской Академии наук.

​

13. 1957 год. В апреле 1957 года Серпинский принял участие в юбилейной научной сессии АН СССР, посвященной 250-летию со дня рождения Леонардо Эйлера. В том же году Серпинский возобновил издание международного журнала "Acta Mathematica", посвященного теории чисел.

​

Список работ, опубликованных Серпинским, содержит свыше 600 названий. Среди них около 30 университетских учебников и монографий. Серпинский - член 11 иностранных академий. Более 20 его учеников являются профессорами в Польше и других странах, один из них математик Андрей Шинцель, работы которого в области теории чисел приобрели широкую известность. Вацлав Серпинский по праву считается отцом польской школы математиков.