Тайны натурального ряда чисел
Математический справочник
творческой команды Aurum
Бином Ньютона
Что же такое бином Ньютона. Из курса школьной алгебры все мы знаем, что это формула сокращенного умножения. Каждый из нас наизусть помнит частные случаи этой формулы для n=2 и n=3.
Формула бинома Ньютона имеет общий вид и может быть расписана для любого n, и не только для целого, но и рационального и отрицательного, в чем и есть, собственно, заслуга Исаака Ньютона.
Геометрический смысл бинома Ньютона в 3D пространстве
Связь с треугольником Паскаля
При разложении бинома Ньютона на мономы, мы получаем в итоге n+1 слагаемых, самый простой способ научиться раскрывать скобки сколь угодно большой степени n, это выучить треугольную таблицу биномиальных коэффициентов, а именно алгоритм ее формирования, так называемый Треугольник Паскаля. Поэтому эти два понятия неразрывно друг с другом связаны.
Формулы
Это видео познакомит Вас с понятием Треугольник Паскаля и с его свойствами.
Историческая справка
Хронологическая таблица
Евклид (III в. до н.э.)
Основная работа Евклида - выдающиеся «Начала».
Эта книга – уникальное в истории человечества произведение: она пронизывает столетия, на протяжении которых она была, пожалуй, единственной учебной книгой по геометрии.
«Мы должны признаться честно и откровенно, что мы нисколько не продвинулись за две тысячи лет дальше Евклида...» (К. Гаусс).
(Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
В геометрической алгебре пифагорейцев (VI-V вв. до н.э.) рассматривались тождества для биномов и апотомов: (а + b)^ 2 = a^2 + 2ab + b^2 , (а − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2 . Евклид описал эти же случаи в «Началах».
Пингала (санскр. पिङ्गल; piṅgalá IAST) 150 лет до нашей эры
Древнеиндийский математик, известный с воим трудом под названием «Чандас-шастра» или «Чандас-сутра» — трактат на санскрите о стихосложении, считается одним из Веданг.
Произведение имеет восемь глав. Это переходное произведение, в котором осуществился отход от ведического размера к классическому размеру эпических произведений, написанных на санскрите.
(сайт ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2013 - 2020 год)
Пингала представляет первое известное науке описание двоичной системы счисления. Он описал двоичную систему счисления в связи с перечислением ведийских размеров стихосложения с короткими и длинными слогами. Его описание комбинаторики размеров соответствует биному Ньютона. Комментарий Халаюдхи включает ввод понятия треугольник Паскаля.
Халейудха (санскрит : हलायुध) 10 век нашей эры
Написал « Мрита-Сандживани» (Mṛtasañjīvanī ) в честь царя Парамара Мунджи. Последний содержит четкое описание треугольника Паскаля (называемого меру-прастарой ).
(сайт английской википедии, страница посвященная ученому https://en.wikipedia.org/wiki/Halayudha)
Известен первым упоминанием треугольной последовательности биномиальных коэффициентов, в качестве комментариев к трудам "s Chandaḥśāstra" математика Пингалы.
Цзю Чжан (≈VI в.)
Лю Жусе 10 век
Вероятно, треугольник биномиальных коэффициентов был сначала описан в также потерянной книге «Жу цзи ши со» («Выравнивание скопившегося и развязывание связанного») который, возможно, был сов ременником Цзя Сяня. Еще раньше в трактате о кубических корнях Цзю Чжан (≈VI в.) рассмотрел случай n = 3.
(Специфика традиционной китайской науки официальный сайт МИФИ
Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
Цзя Сянь (贾宪, 1010 — 1070 годы нашей эры)
Математик и высокопоставленный придворный евнух. По свидетельству ученого-энциклопедиста, члена Ханьлинь академии Ван Чжу 洙 (997-1057) в «Ван-ши тань лу» («Записи бесед господина Вана») и библиографической гл. «И вэнь чжи» («Трактат об искусных и искуственых текстах») «Сун ши» («История [эпохи] Сун», 1345)
(Архив по истории математики Мактьютор https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Jia_Xian)
Цзя Сянь знал расписание (a+b)^n и составил треугольную таблицу биномиальных коэффициентов до n = 6 (кайфан цзофа беньюань ту — «изображение коренного утечки действенного метода извлечения корня»). Составил два трактата: «Суань фа сяо гу цзы» («Собрание методов счета, переданных из старины», 2 цзюаня) и «Хуан-ди цзючжан суань фасе цао» («Методы счета Хуан-ди в девяти главах с подробными решениями»). Оба потеряны, но если от первого осталось только название, то содержание второго примерно на две трети отражено Ян Хуэем в «Сян цзецзю чжансуань фа» (Подробное разъяснение «Методов счета в девяти разделах») в 1261 году.
Абу-л- Вафы ал-Бузджани (X в.)
Ал-Караджи (примерно 1029 год)
В средневековой исламской математике биномиальная теорема появилась у Абу-л- Вафы ал-Бузджани (X в.), из трактата которого следует, что он знал правило извлечения корней 3, 4, …, 7 степеней. Ал-Караджи также были известны коэффициенты при разложении двучлена для n = 3, 4.
(Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
Омар Хайям (Гийяс-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн-Эбрахи́м Хайя́м Нишапури́) 1100 год
Персидский философ, математик, астроном и поэт.
Внёс вклад в алгебру построением классификации кубических уравнений и их решением с помощью конических сечений. Известен во всём мире как философ и выдающийся поэт, автор цикла философских рубаи.
(материал из Юнциклопедии yunc.org)
Математические сочинения, дошедшие до наших дней, характеризуют Омара Хайяма как выдающегося ученого своего времени. Он сыграл большую роль в создании и развитии алгебры. Первый математический трактат Омара Хайяма «Трудности арифметики» пока не обнаружен.
В трактате «Трудности арифметики» Омар Хайям описал формулу бинома для натуральных показателей.
В Иране треугольник Паскаля именуют Треугольником Хайяма.
ал-Караджи Al-Samawʾal ibn Yaḥyā al-Maghribī (Arabic: السموأل بن يحيى المغربي, Hebrew: שלמה בן יחיא אלמוגרבי; c. 1130 – c. 1180)
ас-Самвала Самуил Марокканский, также Самуил абу-Наср ибн-Аббас (Samuel Abu Naṣr ibn Abbas)
(Труды ал-Караджи и книга "Ал-Бахир" Блестящая книга о науке арифметике ученика ас-Самавала.)
В гл. I кн. II ала (XII в.) «Блестящая книга о науке арифметике» доказывается биномиальная теорема для n = 3, 4, 7, а в п.8 даны формула бинома и таблица нахождения биномиальных коэффициентов для n = 1, 12 . Смотрите таблицу ниже.
(Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
Насир ад-Дин Туси (Насир ад-Ди́н Абу́ Джафар Муха́ммад ибн Муха́ммад Ту́си перс. محمد بن محمد بن الحسن الطوسی) 1265 год
Персидский математик, механик, астроном. Известно около 150 трактатов и писем Насир ад-Дина ат-Туси, из которых двадцать пять написаны на персидском, а остальные — на арабском языке. Существует даже трактат по геомантии, который Туси написал на арабском, персидском и тюркском, демонстрируя своё мастерство на всех трёх языках. Отмечается, что Туси знал и греческий
Асланов Р.М. О научном наследии Насиреддина Туси // Научные труды математического факультета МПГУ (юбилейный сборник 100 лет). – М.: МПГУ, 2000.
Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 году труде «Джалеул хесаб» («Вычисление с помощью древесины и песка») даётся формула извлечения корня любой степени положительной цифры и дана таблица чисел Сn по k (биномиальных коэффициентов) до n = 12 включительно.
Ян Хуэ́й (кит. трад. 楊輝, упр. 杨辉, пиньинь Yáng Huī) 1261 год
Китайский математик из группы выдающихся сунских алгебраистов XIII–XIV ст., педагог-методолог. Сформулировал аналог доказательства теоремы Эвклида о параллелограммах и впервые использовал циклические знаки (ганьчи) как алгебраические обозначения неизвестных в линейных системах. Критиковал математиков, которые «меняют названия своих методов от задачи к задаче».
(материал из Юнциклопедии yunc.org)
В 1261 году написал «Сянцзе цзючжан суаньфа» («Подробное разъяснение методов исчисления в девяти разделах“) в 12 цзяней с приложением „Цзючжан суань фацзуань лэй“ („Методы счисления в девяти разделах в последовательной классификации»). Каждая задача рассмотрена в трех аспектах: ее логики, числового решения, применения представленного метода для решения других подобных задач. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).
Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год
Гияс-ад-дин Джамшид ибн Масуд аль-Каши (перс. غیاثالدین جمشید کاشانی, англ. Ghiyāth al-Dīn Jamshīd ibn Mas‘ūd al-Kāshī) 1427 год
Персидский учёный, один из видных математиков и астрономов XV века, сотрудник Улугбека, один из руководителей Самаркандской обсерватории.
В трактате «Ключ арифметики» ал-Каши описывает шестидесятеричную систему счисления. (В астрономических трактатах древних греков в шестидесятеричной системе записывалась только дробная часть числа, а целая часть записывалась в традиционной буквенной ионической системе.
(журнал Квант 1999 год, образовательный сетевой выпуск http://vivovoco.astronet.ru/quantum/99.06/COMB_6_9.PDF)
Написал общедоступный учебник элементарной математики "Ключ к арифметике". Наряду с десятичными дробями и извлечением корней там приводятся биномиальные коэффициенты и арифметический треугольник.
.jpg)
Михаэль Штифель (нем. Michael Stifel) 1544 год
Немецкий математик, один из изобретателей логарифмов, активный деятель протестантской Реформации. Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени».
(Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
Составил таблицу биномиальных коэффициентов в разложении n-й степени бинома (n ≤ 17). Находил он их следующим образом: при умножении (х + а) ^n на (х + а) получается (х + а) ^(n+1) ; тогда коэффициент при члене, содержащем х^( n – m) · a^m ,определяется суммой коэффициентов при х^( n – m) · a^m и х^( n – m – 1) · a^(m + 1) в разложении (х + а)^ n . Таким образом, ученый знал рекуррентную зависимость . Основываясь на ней, Штифель последовательно получал биномиальные коэффициенты и помещал их в таблицу.
Никко́ло Тарта́лья (итал. Niccolò Tartaglia) 1556 год
Итальянский математик-самоучка, инженер фортификационных сооружений.
Наиболее обширное сочинение автора называется «Generale trattato de numeri e misure» (1556—1560); в нём подробно рассматриваются многие вопросы арифметики, алгебры и геометрии.
(Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979. — 48 с. — Популярные лекции по математике)
Н. Тарталья, ознакомившись с работой Штифеля, в «Общем трактате о числе и мере» (1556) придал таблице другой вид. Коэффициенты разложения степени бинома расположены вдоль диагонали, соединяющей соответствующие номера строк и столбцов. Треугольник, отсеченный такой диагональю, впоследствии стал известен как треугольник Паскаля. Таблица была нужна Тарталье для нахождения количества существенно различных выпаданий в случае 1, 2, … игральных костей и составлена для n = 1, 8 . В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля.
Джероламо Кардано 1570 год
Итальянский математик, инженер, философ, врач и астролог. В его честь названы открытые Сципионом дель Ферро формулы решения кубического уравнения (Кардано был их первым публикатором), карданов подвес, карданный вал и решётка Кардано.
(Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
Ряд биномиальных соображений находится в «Новом труде о пропорциональностях» (1570) Дж. Кардано (1501-1576), где автор ввел со ссылкой на Штифеля биномиальные коэффициенты. Вслед за этим арифметический треугольник получил повсеместное распространение. Так же Кардано ввел рекуррентное соотношение вида (C n по k ) + (C n по k + 1) = (C n + 1 по k + 1)
Раффаэле Бомбелли 1573
Уильям Оутред 1631
Р. Бомбелли (≈ 1526-1573) в своей «Алгебре» привел разложение бинома до n = 7, используя коэффициенты при вычислении соответствующих корн ей, а У. Оутред (1574-1660) нашел такие коэффициенты до n = 10 включительно (1631).
(Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
Йоганн Фаульгабер (нем. Faulhaber) 1617 год
Немецкий математик. Самостоятельно изучил арифметику и преподавал ее. В работе «Арифметические чудеса» (1622) впервые опубликовал формулу cos2α + cos2β + cos2γ = 1, где α, β, γ — углы, образованные некоторой плоскостью с тремя взаимно перпендикулярными плоскостями.
Блез Паска́ль (фр. Blaise Pascal [blɛz pasˈkal]) 1665 год
Французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей.
(Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
Последователь Штифеля в Германии ульмский математик И. Фаульгабер (1580- 1635) в «Продолжении нового чу десного искусства» (1617) привел без доказательства значения для суммы степеней m первых восьми чисел натурального ряда, где m = 1, 11.
(Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
Систематическое и обоснованное изложение свойств числа сочетаний находится в «Трактате об арифметическом треугольнике». Хотя сам треугольник новостью не являлся, но основной заслугой автора, как удалось установить, является то, что числа таблицы у него выступают как C n по k с четким изложением их свойств, соотношений членов разностных рядов и биномиальных коэффициентов. Все они снабжены необходимыми доказательствами.
Сэр Исаа́к Нью́то́н (англ. Isaac Newton, английское произношение: [ˌaɪzək ˈnjuːtən]) 1665 год
Английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики, создал многие другие математические и физические теории.
Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler) 1744 год
Швейцарский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук). Наряду с Лагранжем — крупнейший математик XVIII века, считается одним из величайших математиков в истории. Эйлер — автор более чем 850 работ (включая два десятка фундаментальных монографий) по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям.
Ньютона бином // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Около 1665 года обобщил формулу бинома для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.
(Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
На основе формулы для произвольного показателя степени биномиального коэффициента(дро бного,
отрицательного и других), Ньютон получил биномиальное разложение на основе которого позднее Эйлер выводил теорию бесконечных рядов. Ученый называл биномиальные коэффициенты «характеристиками». Его выводы рядов для элементарных функций повторил в 1821 г. Огюстен Коши (1789-1857), установив дополнительно интервал сходимости биномиального ряда.
Нильс Генрих Абель(норв. Niels Henrik Abel) 1826 год
Норвежский математик. Абель тщательно исследовал тему сходимости рядов, причём на высшем уровне строгости. Его критерии строгости были более жёсткими, чем даже у Коши. Он, например, доказывал, что сумма степенного ряда внутри круга сходимости непрерывна, в то время как Гаусс и Коши считали этот факт самоочевидным.
«Абель оставил математикам столь богатое наследие, что им будет чем заниматься в ближайшие 500 лет» (Шарль Эрмит).
(Ярославский педагогический вестник № 3–2010 Из истории биномиальной теоремы)
Исчерпывающее исследование биномиального ряда выполнил Нильс Генрих Абель (1802- 1829). Оно послужило началом формирования степенных рядов в комплексной области (1826). Он дал строгое математическое обоснование указанных Ньютоном возможностей для бинома Ньютона для целых положительных показателей.В случае дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, а правая часть формулы получает бесконечный ряд членов (биномиальный ряд)
Выводы
* Иные названия бинома и арифметического треугольника.
Треугольник и бином Хайяма
Треугольник Хуэя
Треугольник Тартальи
* Почему формулу бинома в разных странах называют по-разному?
Ответ на этот вопрос очевидно вытекает из исторической справки, формула бинома была известна задолго до Ньютона, а арифметический треугольник для ряда целых n был построен задолго до Паскаля. По сути, многие считают, что европейские математики лишь повторили изыскания персидских и китайских коллег в своих трудах.
* Почему формула бинома носит имя И.Ньютона?
Фундаментальным событием в истории математики явилось открытие общего биномиального ряда, к которому в 1664-1665 гг. пришел Исаак Ньютон (1643-1727). В его письме от 13 (23) июня 1676 г., адресованном ученому секретарю Лондонского Королевского общества графу Г. Ольденбургу и предназначенном для Г.В. Лейбница, автор записал общее биномиальное разложение. Сам И. Ньютон как-то заметил, что не достиг бы своих эпохальных открытий, если бы не стоял на плечах гигантов.
* Насколько верно исторически название формулы "бином Ньютона"?
Труд ученого, зачастую, это кропотливое исследование работ своих коллег, поэтому историческое название бином Ньютона мы считаем исторически обоснованным.
Применение в науке и технике
Сфера применения
Бином Ньютона, в частности, биномиальные коэффициенты, нашел свое практическое применение во многих сферах жизни человека, связанных с расчетами и это далеко не только абстрактная математика. Любая естественная наука, которая использует элементы комбинаторики, пользуется биномиальными коэффициентами.
График биномиального распределения степеней узлов графа ER, при вероятности появления нового ребра в графе 0.5
В теории вероятностей
Теория вероятностей тесно связана с комбинаторикой, а та в свою очередь с биномом Ньютона и биномиальными коэффициентами. Самым простым и базовым примером является Вероятность события в схеме испытаний Бернулли.
В теории графов ( Модель Эрдеша-Реньи )
Псевдокод алгоритма ER для ориентированных графов.
Где a случайная величина в диапазоне (0,1]
Простейший смысл этого алгоритма заключается в том, что в граф g, с заданными вершинами и ребрами, в зависимости от заданной вероятности случайным образом добавляется новое ребро
Там где присутствует случайность, присутствует и теория вероятности, а там где присутствует теория вероятности, есть место комбинаторике и биномиальному распределению. Поэтому нет ничего удивительного в том, что в теории графов в модели Эрдеша-Реньи есть место знаменитой формуле, а график распределения степеней полученного графа имеет куполообразную форму.
Граф, сгенерированный биномиальной моделью Эрдёша — Реньи (p = 0,01)
В физике. Задача о случайных блужданиях (Броуновское движение).
В информатике, алгоритмизации и программировании.
Кластерный анализ и методы кластеризации.
Кластерный анализ (англ. cluster analysis) — многомерная статистическая процедура, выполняющая сбор данных, содержащих информацию о выборке объектов, и затем упорядочивающая объекты в сравнительно однородные группы. Задача кластеризации относится к статистической обработке, а также к широкому классу задач обучения без учителя.
Спектр применений кластерного анализа очень широк: его используют в археологии, медицине, психологии, химии, биологии, государственном управлении, филологии, антропологии, маркетинге, социологии, геологии и других дисциплинах. Однако универсальность применения привела к появлению большого количества несовместимых терминов, методов и подходов, затрудняющих однозначное использование и непротиворечивую интерпретацию кластерного анализа.
При кластеризации данных по определенному признаку одним из классических подходов является вероятностный подход. Выделяют целую группу алгоритмов кластеризации такого типа. Предполагается, что каждый рассматриваемый объект относится к одному из k классов.
-
K-средних
-
К-медиан
-
EM-алгоритм
-
Алгоритмы семейства FOREL
-
Дискриминантный анализ
Псевдокод алгоритма кластеризации данных к-средних (к-means)
